4. Stabilisation autour du point d'équilibre. - Blog de Tom Poub

CONSERVATOIRE NATIONAL DES ARTS ET MÉTIERS
CENTRE REGIONAL ASSOCIÉ DE TOULOUSE [pic]
Examen probatoire
du diplôme d'ingénieur C.N.A.M.
en
AUTOMATIQUE INDUSTRIEL présenté par Rémi CAZZARO
Modélisation et stabilisation d'un Micro Hélicoptère à Quatre rotors
Soutenu le 03 07 2007 JURY Président : M. Pierre Chantre Tuteur : M. Vincent MAHOUT TABLE DES MATIÈRES
1. Introduction. 2 2. Principe de vol d'un micro hélicoptère à quatre hélices. 3
2.1. Sens de rotation des voilures tournantes. 3
2.2. Le Lacet. 4
2.3. Le Tangage et le Roulis. 5 3. Modélisation. 5
3.1. Hypothèses du modèle. 5
3.2. Développement du modèle selon Lagrange -Euler. 6
3.3. Expression de l'énergie cinétique. 9
3.4. Expression de l'énergie potentielle. 10
3.5. Expression des forces non conservatrices. 11
3.6. Etude de la dynamique des moteurs. 14
3.7. Schéma de la modélisation sous Simulink. 15 4. Stabilisation autour du point d'équilibre. 17
4.1. Régulation par PID. 18
4.2. Commande linéaire quadratique. 20
4.3. Linéarisation autour du point d'équilibre. 23
4.4. Comparatif des deux techniques de régulation. 25
4.5. Autres techniques de régulation possibles. 26 5. Conclusion 27 6. Bibliographie. 28 7. Sites Internet. 29
1. Introduction. L'intérêt pour les drones aériens télécommandés semble grandir de plus en
plus notamment pour des applications militaires (déminage par exemple) et
l'intervention dans des milieux hostiles (milieux radioactifs). On peut
imaginer un drone afin d'explorer un immeuble ou un tunnel contaminé et de
réaliser une première observation avant toute intervention humaine.
La recherche dans le domaine des véhicules aériens autonomes est
essentiellement pluridisciplinaire. En effet elle fait intervenir des
domaines très variés tels que l'aérodynamique, le traitement du signal et
de l'image, la commande automatique, la mécanique, les matériaux
composites, l'informatiques temps réel...
Dans ce rapport, nous nous intéressons en particulier aux véhicules aériens
miniatures et plus particulièrement à un micro hélicoptère à quatre
hélices. Les algorithmes de contrôle que nous étudierons ont pour but de
permettre la commande de cet engin à distance par un utilisateur placé au
sol envoyant des ordres simples et permettant son pilotage de façon
intuitive.
L'objectif de ce projet est de développer un modèle dynamique de ce micro
hélicoptère qui servira de base à deux approches de régulation autour de la
position d'équilibre (vol stationnaire). Tout d'abord une approche
classique par proportionnel intégral dérivé puis une approche dite plus
moderne la commande linéaire quadratique. 2. Principe de vol d'un micro hélicoptère à quatre hélices.
La photo ci-dessous représente un micro hélicoptère à quatre hélices. Il
est constitué de quatre rotors installés sur une croix en fibre de
carbonne. (Fig 1) [pic]
Fig. 1 Photo d'un micro hélicoptère 2.1. Sens de rotation des voilures tournantes.
Le micro hélicoptère à quatre hélices possède quatre rotors pour se
sustenter. C'est un engin omnidirectionnel à décollage vertical et à
atterrissage vertical (VTOL) capable de faire des vols stationnaires. Il
est constitué de quatre pales à pas fixe accouplées à des moteurs à courant
continu. Pour contrer un mouvement de lacet, il est nécessaire de faire
tourner deux hélices dans un sens et deux autres dans l'autre sens. Les
moteurs un et trois tournent donc dans un sens opposé au moteur deux et
quatre (Fig 2) ce qui permet d'obtenir à vitesse égale un couple d'anti-
rotation nul afin que le micro hélicoptère ne tourne pas dans le plan (x,
y) (fig 3). De plus, pour faciliter la gestion des commandes et les
calculs, le rotor numéro 1 est choisi comme l'avant du micro hélicoptère.
Fig 2 Sens de rotation des hélices Fig 3 Repères du
système La commande simultanée des quatre moteurs est utilisée pour modifier
l'altitude. Les consignes pour modifier les angles d'orientation du système
sont les angles de lacet (rotation autour de l'axe z), roulis (rotation
autour de l'axe x) et tangage (rotation autour de l'axe y).
2.2. Le Lacet. La rotation autour de l'axe z est appelée lacet en aéronautique. Lorsque
les moteurs tournent à vitesse égale le couple d'anti-rotation est nul et
l'hélicoptère ne tourne pas. Pour modifier l'angle de lacet, il faut faire
varier la vitesse de rotation sur le couple d'hélices un et trois ou deux
et quatre en fonction de l'angle désiré sur le lacet (Fig 5). En effet,
lorsque l'on projette les forces aérodynamiques exercées par l'air sur la
pale, on s'aperçoit qu'un rotor a toujours tendance à faire tourner le
micro hélicoptère dans le sens inverse de sa rotation (Fig 4).
[pic][pic]
Fig 4 Forces aérodynamiques Fig 5 Delta de vitesses pour un mouvement
de lacet 2.3. Le Tangage et le Roulis.
La rotation autour de l'axe y est appelée tangage en aéronautique. Une
variation de l'angle de tangage est obtenue grâce à un delta de vitesse
entre le moteur un et trois (Fig 6).
De même, la rotation autour de l'axe x est appelée roulis en aéronautique.
Une variation de l'angle de roulis est obtenue grâce à un delta de vitesse
entre le moteur deux et quatre (Fig 7). [pic][pic]
Fig 6 Commande de Tangage Fig 7 Commande de roulis
3. Modélisation. 3.1. Hypothèses du modèle.
-La masse du micro hélicoptère est de un kilogramme pour une envergure de
un mètre.
-La structure du système est supposée rigide.
-La structure est supposée parfaitement symétrique donc la matrice
d'inertie sera diagonale.
-La portance et la traînée de chaque moteur sont proportionnelles au carré
de la vitesse ce qui se rapproche énormément du comportement aérodynamique
du système réel.
-A partir du moment où le micro hélicoptère est en vol on n'utilisera plus
que la vitesse relative à la vitesse de rotation des moteurs en vol
stationnaire.
3.2. Développement du modèle selon Lagrange -Euler.
Le modèle sera développé selon une approche Lagrangienne c'est à dire selon
les énergies cinétiques et potentielles.
L'équation de Lagrange s'écrit :
[pic] (3.2.1)
[pic] (3.2.2)
Avec qi : coordonnées généralisées.
[pic]:forces généralisées données par les forces non conservatrices.
T :énergie cinétique totale.
V : énergie potentielle totale
On définit les angles de lacet, tangage et roulis (angles aéronautiques) de
la façon suivante (Fig 8) :
-Rotation de[pic](t) autour de l'axe x (angle de roulis avec -[pic])
-Rotation de[pic](t) autour de l'axe y (angle de tangage avec -[pic])
-Rotation de[pic](t) autour de l'axe z (angle de lacet avec -[pic])
[pic]
Fig 8 définition des axes Pour simplifier les écritures [pic](t),[pic](t)et[pic](t) seront notés
[pic],[pic]et[pic]
Les matrices de rotation sont les suivantes : [pic] [pic] [pic] En multipliant les trois matrices on obtient. : [pic]
(3.2.3) Soit [pic] une base orthonormée constituant un repère fixe. Si le micro
hélicoptère subit trois rotations successives selon les angles
aéronautiques on a alors :
[pic]
donc les coordonnées en fonction de t deviennent :
Pour simplifier les écritures [pic](t),[pic](t)et[pic](t) seront notés
[pic],[pic]et[pic] [pic]
(3.2.4)
Par dérivation on obtient les vitesses correspondantes : [pic]
[pic]+
[pic] [pic]
[pic]
[pic] [pic]
(3.2.5)
Que l'on peut écrire sous la forme : [pic] (3.2.6)
[pic] (3.2.7)
[pic] (3.2.8)
donc le carré de la norme de la vitesse est : [pic] (3.2.9)
[pic] (3.2.10)
avec [pic] (3.2.11)
3.3. Expression de l'énergie cinétique.
[pic] (3.3.1)
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] (3.3.2) J'ai fait l'hypothèse que le système était parfaitement symétrique et
qu'ainsi les produits d'inertie sont nuls et que la matrice d'inertie du
micro hélicoptère est diagonale.
En simplifiant l'équation, l'énergie cinétique vaut alors : [pic] (3.3.3)
avec [pic], [pic], [pic]
3.4. Expression de l'énergie potentielle.
[pic] (3.4.1) [pic] (3.4.2) Les équations de mouvements sont alors données par :
Avec [pic] : forces généralisées données par les forces non conservatrices.
Equation du roulis [pic] (3.4.3) Equation du tangage [pic] (3.4.4) Equation du lacet [pic] (3.4.5) Afin de ne pas alourdir le rapport, tous les calculs intermédiaires ne
seront pas donnés. Pour le roulis :
[pic]
[pic] (3.4.6) Pour le tangage :
[pic] [pic] (3.4.7)
Pour le lacet :
[pic] (3.4.8) [pic]
[pic] (3.4.9)
3.5. Expression