Exercice 1 (solution) :

CORRIGÉ UE 3 - MANAGEMENT ET CONTRÔLE DE GESTION ... partenaires avec un risque de remise en cause de l'autonomie des dirigeants actuels. ..... fournies sur un exercice, il faudrait vérifier leur récurrence sur plusieurs exercices .


un extrait du document



0,328 – 0,410 – 0,205 = 0,057.
Donc la probabilité que la transmission d’un caractère binaire soit correcte =
1 – 0,057 = 0,943.

Une chanson standard de trois minutes est composée de 180.000 signaux digitaux. Quelle est la probabilité qu’elle soit décodée sans erreur ?

Soit C = «  Tous les caractères décodés sont conformes aux caractères originaux. », P(C) =  EMBED Equation.3  = 1,273e-4588 ( 0.
  Réseau de téléphonie mobile
Un réseau de téléphonie mobile sur un territoire donné se compose de n relais et fonctionne un jour donné si, ce jour-là, au moins k relais sont opérationnels.
Par mauvais temps (pluie, neige, …), chaque relais fonctionne avec une probabilité p1, indépendamment des autres. Par temps sec, idem mais avec une probabilité p2.
Si ( désigne la probabilité qu’il pleuve demain, quelle est la probabilité que le réseau fonctionne alors ?
Soit S = « Le réseau fonctionne. » ; R = « Le temps sera mauvais demain. ».
Et Fi(k) : la fonction de répartition quand X vaut k, , avec X une V.A.D. ~Bi(n, pi), (i = R, EMBED Equation.3 ).
Donc par LPT :
P(S) = P( EMBED Equation.3 ).P(S/ EMBED Equation.3 ) + P(R).P(S/R) =  EMBED Equation.3 =
 EMBED Equation.3 
Si k = 5, combien de relais doit-on installer au total et au minimum pour que le réseau fonctionne quelque soit le climat ?
(N.B. p1 = 0,8 ; p2 = 0,95 ; on tolère 0,7 % de pannes.)
Il faut P(S) ( 0,993 par temps de pluie ; donc n tel que  EMBED Equation.3  ( 0,993
Donc 1 – F(4) ( 0,993. ( F(4) ( 0,007.
Donc, n = 10, voir tables de la fonction de répartition binomiale (Annexe 4 au Chapitre 6).
Design « never fail »

Une firme de construction d’ordinateurs veut lancer une nouvelle gamme de micro-ordinateurs « soft fail » et « never fail » en les équipant de plusieurs processeurs qui prennent automatiquement le relais les uns des autres en cas de panne.
Ces ordinateurs sont destinés à travailler dans des environnements très perturbés. Ainsi la probabilité de panne d’un processeur vaut-elle 1-p au cours d’une session de travail, indépendamment du fonctionnement des autres processeurs.
Cependant pour fonctionner sous la garantie de « never fail », l’ordinateur doit posséder une majorité de processeurs en ordre de fonctionnement.

Pour quelles valeurs de p préfère-t-on un ordinateur à trois processeurs plutôt qu’à 5 ?
Soit Fi = « L’ordinateur à i processeurs fonctionne sous la garantie de « never fail. » », (i = 3 ; 5).
Soit Xi, le nombre de processeurs en fonctionnement dans un ordinateur à i processeurs.
Xi est donc une V.A.D. ~Bi(i, p), (i = 3 ;5).
Pour i = 3, P(F3) = P(X3 ( 2) = P(X3 = 2) + P(X3 = 3) =
 EMBED Equation.3 .

Pour i = 5, P(F5) = P(X5 ( 3) = P(X5 = 3) + P(X5 = 4) + P(X5=5) =
 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
On préférera la machine à 3 processeurs relativement à la machine à 5 processeurs, si P(F3) > P(F5).
Donc si 3p2 - 2p3 > 10p3 - 15p4 + 6 p5 ou - 6 p5 + 15p4 - 12p3 + 3p2> 0
Donc si - 3p2.( 2p3 - 5p2 + 4 p – 1) > 0, soit 2p3 - 5p2 + 4 p – 1 < 0
Décomposant, on obtient : 2p3 - 4p2 + 2 p – p2 + 2 p -1 < 0
Regroupant et mettant 2p en évidence : 2p.(p2 - 2p + 1) – (p2 - 2 p +1) < 0
Soit (2p – 1).(p – 1)2 < 0. Donc 2p – 1 < 0, soit p < ½.
  Le choix d’un jury
Un étudiant se prépare à passer un examen oral important. Il se préoccupe de savoir s’il sera en forme ou non. Son opinion est que s’il est en forme, chacun de ses examinateurs le jugera suffisant avec une probabilité de 0,8 et indépendamment des autres examinateurs. Dans le cas contraire, cette probabilité tombe à 0,4.
L’étudiant réussit si une majorité de ses examinateurs le juge suffisant. Par ailleurs, il pense avoir deux fois plus de chances d'être en méforme qu’en forme.
A-t-il plus d’intérêt à demander un contrôle par 3 que par 5 examinateurs ?

Soient les événements :
F = « Etre en forme.», ( P(F) = 1/3.
 EMBED Equation.3 = « Etre en méforme. », ( P( EMBED Equation.3 ) = 2/3. {F,  EMBED Equation.3 } forme un S.C.E.
S = « Etre reçu.».
Par la loi des probabilités totales (L.P.T.) : P(S) = P(S/F).P(F) + P(S/ EMBED Equation.3 ).P( EMBED Equation.3 )

Soit X, le nombre de jugements positifs que l’étudiant obtiendra, X est une V.A.D ~Bi(n, pi) avec n = 3 ou 5, le nombre d’examinateurs, et pi, la probabilité d’être jugé suffisant par chacun des examinateurs, i = F ou  EMBED Equation.3 .

P(S/F) = P(X ( 3/ F) s’il y a 5 examinateurs et P(X ( 2/ F) s’il y a trois examinateurs.
P(S/ EMBED Equation.3 ) = P(X ( 3/ EMBED Equation.3 ) s’il y a 5 examinateurs et P(X ( 2/ EMBED Equation.3 ) s’il y a trois examinateurs.

Dans le cas de 5 examinateurs :
P(S/F) =  EMBED Equation.3 = 0,2048 + 0,4096 + 0,32768 = 0,94208.
 P(S/ EMBED Equation.3 ) =  EMBED Equation.3 = 0,2304 + 0,0768 + 0,01024 = 0,31744.
Donc P(S) = 0,94208.1/3 + 0,31744.2/3 = 0,526.

Dans le cas de 3 examinateurs :
P(S/F) =  EMBED Equation.3 = 0,384 + 0,512 = 0,896.
 P(S/ EMBED Equation.3 ) =  EMBED Equation.3 = 0,288 + 0,064 = 0,352.
Donc P(S) = 0,896.1/3 + 0,352.2/3 = 0,533.

Donc l’étudiant choisira un jury de trois examinateurs.
Annexe 2 au chapitre 6 : Exercices récapitulatifs sur la distribution de Poisson
  Accidents sur l’autoroute :
On admet que le nombre d’accidents survenant quotidiennement sur une autoroute est une v. a. de Poisson de paramètre ( = 3.
Quelle est la probabilité qu’il survienne 3 accidents ou plus lors d’un jour donné ?
Même question si l’on sait qu’un accident au moins a eu lieu.

Solution :

Soit X, le nombre quotidien d’accidents sur l’autoroute, X ~Po(3).
On cherche P(X ( 3) = 1 – F(2) = 1 – P(0) – P(1) – P(2) =
1 – 0,050 – 0,149 – 0,224 = 1 – 0,423 = 0,577.

On cherche P(X ( 3/ X ( 1) = P(X ( 3 ( X ( 1)/ P(X ( 1),
(Loi des probabilités composées.)
Or X ( 3 ( X ( 1, donc {X ( 3} ( {X ( 1}.
Donc P(X ( 3 ( X ( 1) = P(X ( 3) = 0,577 (voir a. supra).
et P(X ( 1) = 1 – P(0) = 1 – 0,050 = 0,950.
Donc P(X ( 3/ X ( 1) = 0,577/0/0,950 = 0,607.
  Job de vacances :
E. SANZ, patron de la station-service du coin, organise le travail pour la période de vacances. Basant son avantage compétitif sur le service à ses clients, il désire qu’ils n’attendent pas trop avant d’être servis.
Pour les mois de juillet et d’août, il estime que le taux d’arrivée des clients est de 3 par minute entre 10h et 18 h.
Si le nombre de clients par minute est supérieur à 4, il envoie un étudiant servir les clients - en renfort du pompiste habituel - pendant 3 minutes.
L’étudiant se présente à 10 heures et quitte la station à 18 heures tous les jours.

A combien de temps peut-on estimer l’inoccupation de l’étudiant à la pompe par jour ?
Solution :
Soit O = « Faire appel à l’étudiant pour 3 minutes. ».
Soit Xi = une v.a.d. égale au nombre d’arrivées à la station-service de clients par i minutes entre 10h et 18h un jour donné de juillet - août. Xi ~Po(i * 3).

P(O) = P(X1 > 4) = P(5)+P(6)+P(7)+P(8)+ … ou = 1 - F(4)
= 0,101 + 0,05 + 0,022 + 0,008 + 0,003 + 0,001 + 0 ou 1 - 0,815 = 0,185.
(utilisation des tables du cours, annexes 5 et 6 au chapitre 6).
Or il y a 480 minutes dans les 8 heures de présence de l’étudiant.
Donc pour chaque minute de ces 480, la probabilité de devoir prester 3 minutes est de 0,185.
Selon l’approche fréquentiste, l’étudiant devra donc prester 0,185 * 480 = 88,8 ( 89 fois 3 minutes soit 267 minutes.
Il sera donc inoccupé 600 - 267 = 333 minutes, soit un peu plus de 5 heures et demie.
  Dactylographie :
Une agence de dactylographie emploie 2 dactylos. Le nombre d’erreurs par page est de 3 pour Anaïs et de 4 pour Bertrand. Si la page a la même probabilité d’être dactylographiée par l’une ou l’autre, quelle est la probabilité qu’elle sera sans erreur ?

Solution :

Soit Xa, le nombre quotidien d’erreurs par page d’Anaïs, Xa ~Po(3) et
soit Xb, le nombre quotidien d’erreurs par page de Bertrand, Xb ~Po(4).
Soit les événements :
A = « La page est dactylographiée sans erreur. » ;
An = « Anaïs dactylographie la page. » ;
Bt = « Bertrand dactylographie la page. ».
On sait que P(An) = P(Bt) = 0,5
et {An, Bt} forme un SCE (système complet d’événements).
On cherche P(A).

Par la loi des probabilités totales :
P(A).= P(Xa=0/An).P(An) + P(Xb=0/Bt).P(Bt) = (0,050.0,5)+(0,018.0,5) = 0,034.
  Gardes à l’hôpital :
Durant le week-end, normalement, un seul chirurgien de garde est présent aux urgences de l’Hôpital Saint Sang et il suffit d’habitude à la tâche.
Cependant, il s’avère que des vies humaines sont en jeu si le temps d’attente avant traitement est trop élevé. Les responsables de l’hôpital ont estimé que c’était le cas si plus de 5 personnes se présentaient en une heure aux urgences. Dans ce dernier cas, on appelle chez lui, un autre médecin. Si vraiment le flux des patients est trop grand (plus de 10 personnes à l’heure), on appelle alors en renfort un troisième médecin.
Au cours des 20 derniers week-ends pour lesquels on a conservé des données précises, on a pu calculer que le taux moyen d’arrivées aux urgences était de 3 personnes par heure.

On vous demande de calculer, pour le week-end prochain, quelle est la probabilité de devoir faire appel à un autre médecin et à deux autres médecins au cours d’une heure donnée.
Il est 9h10 du matin, ce samedi, le docteur DURZOT vient de prendre son service depuis 10 minutes et 3 personnes au moins sont déjà arrivées depuis aux urgences, victimes d’un accident. Quelle est la probabilité que durant les 50 minutes qui suivent, on doive faire appel en renfort à son collègue MOUZOT ?

Solution :

Soit X, le nombre de personnes arrivant aux urgences en une heure, X ~Po(3).
Soit les événements :
2M = « Faire appel à un second médecin. » ;
3M = « Faire appel à un troisième médecin. » ;
On cherche P(2M) = P(X > 5) et P(3M) = P(X > 10).
P(2M) = P(X > 5) = 1 – F(5) ou P(6) + P(7) + P(8) + … =
0,05 + 0,022 + 0,008 + 0,003 + 0,001 + … = 0,084.
P(3M) = P(X > 10) = 1 – F(10) ou P(11) + P(12) + … = 0.
On cherche P(2M/ X ( 3) = P(2M ( X ( 3)/P(X ( 3) (loi des probabilités composées), or 2M = X > 5 et X > 5 ( X ( 3, donc {X > 5} ( {X ( 3} et 2M ( {X ( 3}, donc P(2M/ X ( 3) = P(2M)/P(X ( 3) = 0,084/0,577 = 0,145.
  Brouillard sur le viaduc :
Le viaduc de ZEEB sur l’autoroute F114 a une fâcheuse propension à se couvrir d’un brouillard dense les matins d’automne et de printemps. Les risques d’accident y sont élevés. Les statistiques établies les années précédentes indiquent, pour chaque sens de circulation (Nord-Sud et Sud-Nord), une probabilité de 40% de survenance d’au moins un accident au cours de la journée par temps de brouillard.
On vous demande, pour un jour où le brouillard est dense sur le viaduc :
Quelle est la probabilité qu’aucun accident ne se produise sur le viaduc ?
Quelle est le nombre d’accidents sur le viaduc auquel on peut s’attendre par un jour de brouillard ?
Quelle est la probabilité qu’un accident au moins se produise sur le viaduc ?
Considérant maintenant uniquement le sens de circulation Nord-Sud, quelle est la probabilité d’observer au moins une collision en chaîne, sachant que les risques d’observer au moins un tel accident dans ce sens de circulation par temps de brouillard sont de 10% quand le temps est couvert et de 30% quand le ciel est clair ? Les statistiques météorologiques prévoient 120 jours de temps couvert et 60 jours de ciel clair par an durant les périodes habituelles d’apparition du brouillard sur le viaduc.
Solution :
Soit X, une variable aléatoire représentant le nombre quotidien d’accidents sur le viaduc, X ~Po, idem pour XNS et XSN se rapportant à chacun des deux sens. On sait que : (i et j = S,N avec i ( j), P(Xij > 0) = 1 – P(Xij = 0) = 0,4.
Donc pour chaque sens de circulation : P(Xij = 0) = 0,6.
Donc pour les deux sens de circulation :
P(X = 0) = P[(XNS=0) ( (XSN=0)] = 0,6² = 0,36.
On cherche E(X), sachant que X ~Po et P(0) = 0,36. On sait que E(X) = (, le paramètre de la distribution ; donc (cfr tables), P(0) = 0,368 pour ( = 1 ou plus précisément, il faut 0,36 = e -( ou ln(0,36) = -( donc ( = 1,0217 = E(X).
P(X > 0) = 1 – P(X = 0) = 1 - 0,36 = 0,64.
Soit CC : « Observer au moins une collision en chaîne dans le sens Nord-Sud. », B : « Le brouillard est dense sur le viaduc. », TC : « Le temps est couvert. » et TCL : « Le temps est clair. »
On sait P(CC/TC(B) = 0,10 et P(CC/TCL(B) = 0,30 ainsi que
P(TC(B) = 120/180 = 2/3 et P(TCL(B) = 60/180 = 1/3.
P(CC(B) = P(CC/TC(B). P(TC(B) + P(CC/TCL(B). P(TCL(B) =
0,10.2/3 + 0,30.1/3 = (0,2 + 0,3)/3 = 0,5/3 = 1/6 = 0,166666… EXERCICES RECAPITULATIFS (1)

 Contrôle de qualité (I).
Une production en série présente en moyenne 5 % de produits défectueux.
Un contrôle est effectué sur un lot de 100 articles choisis au hasard.
1) Quelle est la probabilité pour y trouver exactement 3 articles défectueux ?
2) Quelle est la probabilité pour y trouver moins de 5 articles défectueux ?
3) Déterminer le plus petit nombre entier k tel que la probabilité de trouver dans le lot au moins k articles défectueux soit inférieure à 20 %.
Solution :
Puisque n (le nombre d’épreuves : c’est-à-dire de t