Dans cette première partie, je présente des exemples de savoirs ...

TD. TP. AT(b). Sciences et techniques. - Etude de construction et analyse des systèmes. 1 ... (a) dont 2h en commun avec le professeur enseignant l'étude des systèmes ... ainsi que l'analyse du comportement de leurs commandes respectives. ..... de l'énergie électrique, les différents types de machines tournantes (continu, ...


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Corine CASTELA
Maître de Conférences
LDAR-Université Paris Diderot-Université de Rouen
IUFM de Haute-Normandie




Des mathématiques à leurs utilisations,
contribution à l'étude de la productivité praxéologique
des institutions et de leurs sujets
/
Le travail personnel au cœur
du développement praxéologique des élèves
en tant qu'utilisateurs de mathématiques



Note de synthèse présentée en vue de
l'Habilitation à Diriger des Recherches
Université Paris Diderot



Soutenue le 7 Octobre 2011
Devant le jury :



Michèle ARTIGUE, Professeur émérite, Université Paris Diderot Paris 7, France
Yves CHEVALLARD (Rapporteur), Professeur, Université de Provence, France
Alain KUZNIAK, Professeur, Université Paris Diderot Paris 7, France
Daniel PERRIN, Professeur, Université Cergy-Pontoise, France
Maggy SCHNEIDER, Professeur, Université de Liège, Belgique
Anna SIERPINSKA (Rapporteur), Concordia University, Montreal, Canada


Sommaire

Introduction3Chapitre 1.Savoirs en jeu dans la résolution de problèmes : le pari de la généricité pratique5I.Introduction5II.Le courant du Problem Solving en Education Mathématique : un emblème, plusieurs conceptions7III.La résolution de problèmes dans la didactique française16IV.Assumer explicitement le pari de la généricité pratique dans le cadre de la préparation au CAPES25V.Les principales objections à l'enseignement de savoirs méta37VI.Des pistes pour penser le potentiel développemental des savoirs41VII.Des outils pour décrire les enjeux d'apprentissage relatifs à la résolution de problèmes dans le cadre de la Théorie Anthropologique du Didactique45VIII.Synthèse56Chapitre 2.Le travail personnel en mathématiques dans le supérieur et au lycée 59I.Introduction59II.Analyser les gestes de l'étude grâce au modèle de structuration du milieu60III.Les gestes de l'étude en mathématiques d'élèves de Première Scientifique67IV.Les recherches sur le travail étudiant74V.Etude comparative des objets et des modalités de l'étude des mathématiques en Licence et en Classes Préparatoires aux Grandes Ecoles81VI.Perspectives95Chapitre 3.Que savent les institutions ? Comment apprennent-elles ?
Le modèle praxéologique : un outil pour analyser les dynamiques de la cognition institutionnelle99I.Introduction99II.A propos de l'utilisation en automatique d'une praxéologie mathématique : un exemple de technologie pratique101III. Exemples d'influences institutionnelles sur le bloc théorique105IV. Un modèle qui prend en compte la multi-détermination institutionnelle des praxéologies110V.Confrontation à d'autres travaux117VI.Perspectives123Conclusion125


Introduction


Conformément à ce que le titre de l'exercice résume, cette note ambitionne de présenter les travaux réalisés dans mon parcours de recherche sous forme d'une totalité cohérente. Je pense y avoir réussi moyennant l'abandon de mes toutes premières productions. Reste alors un ensemble relativement limité de travaux (je tenterai de m'expliquer plus loin de cette productivité restreinte) qui s'organise en deux flux ayant chacun une cohérence. Le premier correspond aux chapitres 1 et 2, il intègre les recherches qui conduisent de l'analyse des connaissances impliquées dans la résolution de problèmes en mathématiques à l'étude des voies de leur construction largement non accompagnée didactiquement, donc du travail personnel des élèves et étudiants, à différents niveaux de scolarité. Le second est présenté dans les chapitres 1 et 3. Nourri par les réflexions sur la résolution de problèmes en mathématiques mais aussi par deux affluents plus tardifs relatifs à la comparaison des enseignements de la géométrie au Chili et en France d'une part, à la transposition des mathématiques dans la formation des ingénieurs d'autre part, ce flux s'intéresse à la modélisation des ressources cognitives socialement produites et à l'étude des processus qui constituent au niveau institutionnel les dynamiques cognitives de production et de circulation des praxéologies. Les recherches portent sur des contenus mathématiques mais l'effort théorique accompli, dans le cadre de la Théorie Anthropologique du Didactique, est certainement de portée plus générale. Ces deux directions de recherche sont porteuses de perspectives spécifiques qui sont présentées en conclusion des chapitres 2 et 3.

Avant d'en venir au premier des trois chapitres qui composent donc ce texte, je veux m'expliquer sur certaines options prises dans l'élaboration de cette note. Comme on a déjà pu le constater, j'ai choisi de l'écrire en première personne. Ceci répond à l'objectif d'exprimer ici les développements les plus récents de ma pensée, donc non nécessairement confrontés à la controverse. Je me suis ainsi autorisée à plusieurs reprises à m'avancer à l'extrême limite de mes connaissances, avec le projet d'envisager des pistes possibles ; ces audaces sont explicitées comme on le verra dans les différents chapitres. Mais, dans cette introduction, je veux aussi tenter d'élucider quelques éléments de mon rapport à l'activité de recherche, entre autre ceux qui peuvent en expliquer certaines limites, non pour m'en excuser mais pour espérer ne pas les imposer aux jeunes chercheurs que je serai amenée à encadrer.
Comme je l'ai dit précédemment, le nombre de mes recherches est limité, particulièrement celles qui comprennent une dimension expérimentale ou empirique. Ceci est dit sans effet de fausse modestie. Chacune des recherches que j'ai réalisées a été accompagnée ou suivie d'un long temps associant écriture et élaboration théorique. Ceci est la conséquence du besoin irrépressible de disposer à titre personnel d'une organisation conceptuelle intégratrice, porteuse d'une cohérence pour un certain domaine. Cet édifice n'est évidemment jamais définitif, son sort est d'être déstabilisé puis reconstruit. Ceci me fait donc avancer mais prend du temps et détourne du terrain. C'est pourquoi les travaux à base empirique que j'ai menés à bien ont toujours été inscrits dans un processus d'élaboration théorique qui en a retardé l'achèvement et la publication.
Cette caractéristique a aussi des effets sur ma pratique de lecture. Plus encore que par la confrontation au réel, la mise en mouvement que j'ai évoquée est initiée par des rencontres avec les élaborations d'autres chercheurs, essentiellement par l'étude des textes qu'ils ont produits. C'est avec cette finalité que j'ai, dans ma vie de didacticienne, envisagé le travail bibliographique, dans un sens sous bien des aspects hérétique du point de vue des normes scientifiques : certainement pas exhaustif, il est une recherche de rencontres assez aléatoires avec des pensées, suffisamment proches pour que je les entende, suffisamment différentes pour déséquilibrer ma cohérence antérieure. Le sentiment d'inconfort que suscite alors chez moi la désorganisation ainsi provoquée est tel que le travail d'accommodation nécessaire ne souffre pas beaucoup de délais. Il me faut surseoir au travail de lecture pour reconstruire un équilibre. Pour désagréables que soient pendant un temps les effets de telles rencontres, je ne lis véritablement que pour les vivre et ainsi enrichie, relancer mon chantier. Ceci explique que réaliser une revue systématique de travaux n'a jamais été une priorité pour moi et même qu'il m'est quasiment impossible d'en mener une à terme. Je ne m'en vante pas, tout à fait convaincue de la nécessité scientifique de capitaliser les différents travaux et de situer les nouveaux par rapport aux anciens. La rédaction du présent texte de synthèse a été pour moi l'occasion d'explorer, sinon de manière exhaustive et systématique, du moins beaucoup plus largement que je ne l'avais jamais réalisé, les travaux existants sur les thèmes d'étude qui sont les miens. C'est ainsi que le chapitre 1 commence par une revue de travaux consacrés à la résolution de problèmes en mathématiques, visant à y distinguer des tendances par rapport auxquelles je situe ma propre position. La thématique du travail personnel des élèves ou étudiants n'ayant guère été abordée dans le cadre des recherches didactiques, je présente dans le chapitre 2 les travaux réalisés sur ce sujet en sciences de l'éducation et en sociologie par des chercheurs de langue française, en m'attardant sur ceux d'entre eux, très rares, qui prennent en compte la spécificité des savoirs enseignés. Enfin, dans le chapitre 3, j'ai mis en relation le développement du modèle praxéologique que je propose avec certains aspects des travaux réalisés par trois courants de recherches sur les pratiques professionnelles.
Ceci correspond à une dernière caractéristique du projet dual mis en œuvre dans cette note : j'ai cherché à expliciter les choix philosophiques qui me font inscrire fermement mon travail au sein de la Théorie Anthropologique du Didactique et, assumant ainsi clairement mon orientation, j'ai à plusieurs reprises envisagé de possibles convergences avec des approches théoriques partant de présupposés a priori nettement différents.
Chapitre 1

Savoirs en jeu dans la résolution de problèmes :
le pari de la généricité pratique


I. Introduction
Mes premiers travaux, directement inspirés par mon expérience d'enseignante de lycée, ont concerné des apprentissages conceptuels. L'un, publié par l'IREM de Rouen, s'intéresse aux acquis des élèves sur les nombres réels en début de seconde. L'autre, qui a donné lieu à un article dans la revue Recherches en Didactique des Mathématiques (1995), est consacré aux conceptions de la notion de tangente à une courbe à plusieurs niveaux du lycée. Dans les deux cas, les données analysées sont issues d'un questionnaire dont les items ne font pas intervenir les concepts visés sous forme d'outil. Les conclusions sont formulées en terme d'écart entre le concept mathématique et les conceptions que s'en font les élèves. Les circonstances ont fait que je n'ai prolongé aucune de ces deux recherches dans la direction d'une ingénierie, ce qui m'aurait nécessairement conduite à élargir une approche qui en est donc restée à un stade assez naïf, eu égard aux outils développés par la didactique française.
Recrutée à l'IUFM en 1991, j'ai été immédiatement responsable d'un enseignement de géométrie très particulier puisque, destiné aux étudiants préparant le CAPES de mathématiques, il est centré sur la révision des programmes du lycée. Dans ce cadre, les lacunes manifestées par les étudiants ne peuvent que rarement être interprétées en termes de défaut de conceptualisation, il s'agit plutôt de difficultés dans l'utilisation de leurs connaissances dans des conditions requérant une certaine autonomie, conformément aux caractéristiques des deux épreuves écrites du concours. Celles-ci ont un programme de niveau limité puisqu'il ne dépasse guère les contenus du secondaire (dont la géométrie) et des deux premières années universitaires mais ce programme est aussi très large puisque les problèmes posés ne s'annoncent pas comme relevant d'un secteur particulier. Même si n'intervient dans chaque problème qu'un nombre très restreint de théorèmes importants de niveau universitaire, il arrive que leur mobilisation soit à la charge des étudiants. Leur utilisation suppose en général de les coordonner, sans que l'énoncé ne fournisse aucune indication, avec des théorèmes plus anciens ou des techniques que l'on pourrait à ce niveau considérer comme élémentaires puisque déjà rencontrées au secondaire. Enfin, ces problèmes sont longs (un seul thème pour une durée de 5 heures) et régulièrement, certaines questions utilisent des résultats établis antérieurement et ce sans avertissement particulier.
J'illustrerai une partie de ce qui vient d'être dit par un exemple issu de la deuxième épreuve écrite de 2009. Le problème est consacré aux racines de polynômes (borne de Cauchy, théorème de Lucas liant les racines de f'(z) à celles de f(z), interprétation en termes de coniques pour le degré 3). Après avoir rappelé la définition d'une partie convexe du plan (en terme de barycentre), la partie C commence en demandant d'établir que
le plus petit convexe contenant une partie F du plan est l'intersection de tous les convexes contenant F,
que l'ensemble G des barycentres à coefficients positifs de familles finies de points de F est ce plus petit convexe.
Je n'analyse pas pour l'instant en détail l'ensemble des étapes à introduire pour traiter la deuxième question, je retiendrai seulement (mais cela donne déjà une bonne idée de la difficulté) que les étudiants doivent à leur initiative effectuer un raisonnement par récurrence pour établir que tout convexe contenant F contient aussi G, ils doivent également mobiliser le théorème d'associativité ou passer au cadre vectoriel. Il s'agit ici de savoirs qui sont déjà rencontrés au secondaire.
Or les étudiants qui s'inscrivent à la préparation au concours et ont donc suivi au moins un cursus complet de 3 ans à l'université manifestent de très grandes difficultés face à ce contexte d'utilisation de connaissances que l'on peut considérer comme relativement anciennes. Ainsi, un travail réalisé par J. Pian (1999) auprès d'une centaine d'étudiants des préparations au CAPES de Versailles et de Lille, en début d'année universitaire, montre que, dans un questionnaire de 24 items, concernant uniquement des savoirs enseignés au niveau L1-2, les seules questions qui sont réussies par plus de la moitié des étudiants sont des applications directes de propriétés élémentaires, sans coordination avec d'autres résultats. Dès qu'une question nécessite certaines adaptations, par exemple l'introduction d'une étape, le pourcentage de réussite se situe au dessous de 20 % des étudiants. Cette étude est confirmée année après année par les notes d'écrits au concours : pour l'année 2008, sur les 3453 candidats présents, 10 ont obtenu la note 19/20, leur production permettant d'étalonner le barème, 46 % des notes sont alors strictement inférieures à 8.
C'est donc dans ce contexte que je me suis intéressée à la résolution de problèmes, objet qui a constitué jusque fort récemment l'épine dorsale de mes recherches. En comparaison avec mon travail sur les réels et sur la tangente, ceci constitue un changement de perspective sur la nature des enjeux de l'enseignement des mathématiques : il ne s'agit plus seulement de créer les conditions d'une construction conceptuelle, de l'appropriation par les élèves des concepts et des théorèmes (ce que je désignerai désormais en parlant de savoirs théoriques), les fins ultimes visées concernent l'utilisation de ces connaissances dans certaines pratiques. La résolution de problèmes est considérée, non en tant que moyen nécessaire à la construction