Modèle de choix de portefeuille

Objectif de tout investisseur : maximiser la rentabilité anticipée, mais nécessité d' intégrer également le risque dans le cadre des choix de portefeuille. b) risque ...


un extrait du document



inanciers et éco réelle

Rentabilité , risque, diversification



rentabilité et rentabilité anticipée



( Rentabilité et rendement :


( Le rendement est le revenu d’une valeur mobilière :

action ( dividende ; obligation ( intérêt


( La rentabilité d’une action = dividende et plus ou moins value



Rt = (Dt + Pt - Pt-1)
Pt-1


Rt : tx de rentabilité sur la période t
Dt : dividende perçu en t
Pt : cours de l’action à la fin de la période t




( La rentabilité anticipée est la moyenne pondérée des rentabilités possibles.



( Exemple :
Un actif peut, selon l’évolution de l’activité économique, avoir une rentabilité de 10% ou 12%.

Calcul de la rentabilité anticipée (R’) :

R’= 0,5 x 10% + 0,5 x 12% = 11%


( Formule générale de la rentabilité anticipée :

R’= R1P(R1)+R2P(R2)+….

R’= somme de RiP(Ri) pour i allant de 1 à n.


Objectif de tout investisseur : maximiser la rentabilité anticipée, mais nécessité d’intégrer également le risque dans le cadre des choix de portefeuille.

risque d’un actif



Prise en compte de l’incertitude :
la rentabilité réelle peut différer de la rentabilité anticipée, c’est cette divergence qu’appréhende le risque.



mesure du risque



( Markowitz et Tobin : mesurer le risque par l’écart type.

( Plus l’écart type est important plus le niveau de risque est important.

En présence d’un seul actif, le niveau de risque de cet actif est mesuré par son écart-type.

Ecart type = ( (1/(n-1) de somme de (Ri-R)² )(1/2) par approximation.
ou = ( somme de Pi*(Ri-R))² ) (1/2)



( En présence de plusieurs actifs à risque, il faut tenir compte de l’interdépendance de la rentabilité des différents actifs.

(Covariance entre deux variables aléatoires :
Cov (Ri, Rj) = écart type x = E( Ri- E(Ri)) * E(Rj – E(Rj))

(Covariance pour n produits:
Ecart type X = 1 / (n-1) x somme de (R1t – R1)(R2t – R2) pour t allant de 1 à n.



( Coefficient de corrélation : il relie la covariance entre deux titres à la dispersion (écart type) de leurs rentabilités.

Pij = écart type x/ (écart type i * écart type j)




risque de portefeuille



( Un portefeuille composé de deux titres i et j, et x la part de chaque titre dans ce portefeuille :


Ecart type ² p = x²i * écart type ² i + x²j * écart type ²j + 2xixj * écart type ij

Avec : xi + xj = 1


( La corrélation entre deux investissements a une influence sur la variance d’un portefeuille.

Ecart type < ou = à 0 ( baisse du risque et ce d’autant plus que écart type 1  : portefeuille agressif
Bêta < 1 : portefeuille conservateur


Risque total de portefeuille




 Risque spécifié Risque total


Risque systématique


30 Nombre d’actions
de portefeuille






L’équilibre du marché pour les actifs à risque : le MEDAF ( ou Capital Asset Pricing Model)


Marché composé uniquement d’actifs sans risque
( tous les actifs doivent procurer le même taux de rentabilité (LPU, arbitrage).



Marché comportant des actifs risqués :
( tous les actifs, une fois intégrés leur niveau de risque, doivent procurer le même taux de rentabilité.



Comment ajuster les titres au regard de leur risque ?




concepts fondamentaux



fonction d’utilité



C’est un fonction qui va représenter les préférences d’un individu, qui fait correspondre à chaque panier de biens, ou chaque portefeuille, un nombre réel.



( Arguments de la fonction pour les choix de portefeuille :

rentabilité
risque



( Représentation graphique :



Rentabilité espérée



Ep’
P
Ep



Risque
écart type(p) écart type (p‘)


L’investisseur est intéressé par la courbe d’indifférence la plus haute.




Portefeuille efficient et frontière d’efficience


( Portefeuille efficient = choix du couple Rentabilité / Risque optimal :

pour un niveau donné de rentabilité :
le portefeuille efficient est celui qui présent e le risque minimum.
Pour un niveau donné de risque :
le portefeuille efficient est celui qui présente la rentabilité maximum.




(Frontière d’efficience  = ensemble des portefeuilles de titres dont la composition ne peut être modifiée de façon à augmenter la rentabilité sans que le risque n’augmente simultanément.




Choix de l’investisseur


Choix de portefeuille qui lui procure la plus grande utilité compte tenu de son aversion pour le risque.



( Portefeuille optimal = portefeuille X, portefeuille pour lequel la frontière d’efficience est tangent à l’une des courbes d’indifférence de l’investisseur.



actif sans risque : rentabilité certaine r

les investisseurs peuvent combiner le portefeuille M et le titre S, ce qui permet en général d’atteindre un niveau d’utilité plus élevé.



Droite de marché : en présence d’un actif sans risque, et en considérant un portefeuille de marché M composé de tous les actifs risqués, la droite qui passe par r et par M est appelée droite de marché (Capital Market Line).




Rentabilité espérée droite de marché


 M

r




écart type M Risque


Elle donne des indications sur la mesure du risque, car la pente de la droite indique le supplément attendu par les opérateurs pour assumer un risque accru d’une unité.

Elle me permet de déterminer les titres qui sont sur ou sous évalués.





Les hypothèses du MEDAF



L’actif sans risque a un taux identique pour l’emprunt et le prêt.

Les investisseurs ont une aversion pour le risque et ont un comportement de maximisation sur la période considérée, période identique pour tous les investisseurs.

Les anticipations de rentabilité et de risque sont les mêmes pour tous les investisseurs

Les marchés de capitaux sont parfaits :

Les actifs sont indéfiniment divisibles
Absence de frais de transactions et d’impôts

Il en résulte que la frontière d’efficience des portefeuille d’actifs risqués est identique pour chaque investisseur.




conditions d’équilibre sur les marchés d’actifs à risque


A l’équilibre tous les actifs doivent donner le même taux de rentabilité compte tenu de leur niveau de risque.


( Si deux actifs i et j ont des rentabilités attendues Ri et Rj, et des bêtas i et j, à l’équilibre, on a :


Ri – bêta i(Rm-Ri) = Rj – bêta j(Rm – Rf)


Rf : rentab de l’actif sans risque.




Conditions d’équilibre avec l’actif sans risque



Ri= Rf + bêta i (Rm – Rf)



La rentabilité attendue d’un actif donnée doit être égal à la rentabilité de l’actif sans risque augmentée d’une prime de risque.



Prime de risque : rendement supplémentaire demandé par les investisseurs pour accepter de supporter le risque d’un actif particulier.







EFI 492 - ESC Promo 2002 Théories des Marchés Financiers Yves MICHEL

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