Plan de cours - HEC Montréal

Plan de cours 80-646-07 Automne 2007
Méthodes stochastiques en ingénierie financière Objectif du cours Le cours est basé sur l'étude des principaux outils de la théorie de la
probabilité qui sont utilisés en finance et en ingénierie financière. Bien
que les applications soient liées ces domaines et que de nombreux exemples
seront étudiés en classe et lors des travaux, c'est un cours de
mathématiques, ce qui implique la démonstration des résultats.
Le principal objectif de ce cours est de rendre l'étudiant à l'aise avec
les concepts mathématiques qu'il doit couramment employer en ingénierie
financière : processus de diffusion, mesure neutre au risque, la structure
de l'information, les martingales, etc.
Le cours en divisé en deux principaux blocs : le premier concernant les
modèle à temps discret et le second traitant des modèles à temps continu. Modèles de marchés à temps discret (8 cours)
Notions de base de la théorie des probabilités (1 cours) . Espace probabilisé
. Ensemble fondamental, tribu, mesure de probabilité
. Variable aléatoire (fonction mesurable), processus stochastique
. Filtration (structure d'information)
. Espérance et espérance conditionnelle Bibliographie . Patrick Billingsley (1986), Probability and Measure, Second Edition,
Wiley, New York.
Ce livre s'adresse aux personnes ayant une bonne formation en
mathématique. Tous les résultats importants de la théorie des
probabilités s'y retrouvent avec leur démonstration. On y trouve une
grande sélection d'exercices de tous les niveaux de difficulté. Ce
livre est nettement au-dessus du niveau fixé pour ce cours.
Disponible à la bibliothèque de mathématiques de l'université de
Montréal.
. Damien Lamberton et Bernard Lapeyre (19919), Introduction au calcul
stochastique appliqué à la finance, ellipses, Paris.
La première section du chapitre 1 porte sur les outils probabilistes
nécessaires lors de la modélisation de marchés financiers. C'est un
livre qui aborde les questions liées à la finance et explique ensuite
les notions mathématiques utilisées. Aucun compromis quand à la
rigueur mathématique!.
. Sheldon M. Ross (1997), Introduction to Probability Models, 6 ième
édition, Academic Press,New York.
Les trois premiers chapitres abordent ces thèmes en présentant de
nombreux exemples et exercices. Seule la notion de filtration n'est
pas traitée. C'est un manuel très bien écrit, qui ne s'adresse pas
qu'au mathématicien sans pourtant tourner les coins ronds lorsqu'il
est temps de démontrer les résultats mathématiques.
Disponible à la bibliothèque des H.E.C.
Processus markovien et Martingale (2 cours) La notion de martingale est très importante en finance. En effet, la
structure particulière de ces processus stochastiques nous permet
d'obtenir des solutions à des problèmes tels que la détermination du
coût d'une option ou encore, d'une stratégie d'investissement optimale.
Les grands classiques de la littérature financière tels An Equilibrium
Characterization of the Term Structure de Oldrich Vasicek (1976),
Martingales, stochastic integrals and continuous trading de J. Michael
Harrison et Stanley R. Pliska (1981), pour ne nommer que ceux-là,
utilisent tous les propriétés des martingales.
Encore une fois, nous aborderons la notion de martingale en se
concentrant sur des processus à temps discret, bien qu'il existe de
nombreux exemples de martingale à temps continu. Nous généraliserons
par la suite.
. Définition
. Propriétés
. Temps d'arrêt
. Le théorème de représentation des martingales Bibliographie . Samuel Karlin et Howard M. Taylor (1975), A First Course in
Stochastic Processes, Second Edition, Academic Press, New York
On trouve dans les chapitres 3 et 4 de ce livre une bonne
introduction aux chaînes de Markov. Les calculs et démonstrations
sont faits de façon détaillée, ce qui en facilite la compréhension.
Le chapitre 6 porte sur les martingales à temps discret. Encore
une fois, les démonstrations sont faites de façon détaillée, ce qui
en facilite la compréhension.
Disponible à la bibliothèque des H.E.C.
. Damien Lamberton et Bernard Lapeyre (19919), Introduction au calcul
stochastique appliqué à la finance, ellipses, Paris.
Section 2.1 du premier chapitre !
. Sheldon M. Ross (1997), Introduction to Probability Models, 6 ième
édition, Academic Press,New York.
Les chapitres 4 et 6 traitent des processus Markovein. La notion
de martingale est présentée dans le chapitre 10. On y trouve des
exemples d'applications en finance. Excellent manuel!
Modèle de marché financier à temps discret (4 cours) Nous mettrons en pratique les notions abordées précédemment. Nous
étudierons des modèles de marché à une et à plusieurs périodes.
. Absence d'arbitrage
. Probabilité neutre au risque et mesure martingale
. Dérivée de Radon-Nikodym
. Marché complet Bibliographie . Martin Baxter et Andrew Rennie (1996), Financial Calculus, An
Introduction to Derivative Pricing, Cambridge, New York.
Excellent bouquin ! Les deux premiers chapitres du livre abordent
les notions de finances et le modèle binomiale avec une clareté
éblouissante. Très intuitif.
. Michael U. Dothan (1990), Prices in Financial Market, Oxford
University Press, New York.
Les premiers chapitres portent sur le sujet. Présentation
détaillée des notions de base et les mathématiques sont exécutées
de façon satisfaisante.
. J. Michael Harrion et Stanley R. Pliska (1981), Martingales and
Stochastic Integrals in the Theory of Continuous Trading,
Stochastic Processes and their Applications, 11, 215-260.
La deuxième section de cet article aborde un modèle de marché à
temps et à états discrets. La présentation est claire et
rigoureuse et les notions principales couramment utilisées en
finance telles l'arbitrage, les droits conditionnels, la complétude
du marché, etc. y sont abordées.
. John C. Hull (1997, 1989), Options Futures and Other Derivatives,
third edition, Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ.
Le chapitre 9 s'intitule « Introduction to Binomial Tree » et
présente ce modèle de marché qui est fréquemment utilisé.
L'intérêt de ce livre réside dans sa présentation des concepts de
base liés à la finance. Les étudiants possédant peu de
connaissance du fonctionnement des marchés financiers profiteront
des premiers chapitres du livre. Le traitement mathématique de
certaines notions décevra les puristes!
Disponible à la bibliothèque des H.E.C.
. Damien Lamberton et Bernard Lapeyre (19919), Introduction au calcul
stochastique appliqué à la finance, ellipses, Paris.
Troisième section de premier chapitre. Tout y est présentée... de
façon succincte.
Problème de Snell et option américaine (1 cours) Le problème de Snell intervient lors de la détermination du temps
d'exercice optimal d'une option de type américaine lors que le marché
est à temps discret. Bibliographie . Damien Lamberton et Bernard Lapeyre (19919), Introduction au calcul
stochastique appliqué à la finance, ellipses, Paris.
Chapitre 2.
. Jacques Neveu (1972), Martingales à temps discret, Masson et cie.
Paris.
Le chapitre 6 : problèmes d'optimisations comporte une section sur
ce problème et quelques exemples d'applications. Présentation
soignée et mathématiquement rigoureuse.
Disponible à la bibliothèque de mathématiques de l'université de
Montréal.
Calcul stochastique à temps discret
Bibliographie . Michael U. Dothan (1990), Prices in Financial Market, Oxford
University Press, New York.
. Damien Lamberton et Bernard Lapeyre (19919), Introduction au calcul
stochastique appliqué à la finance, ellipses, Paris. Modèles de marchés à temps continu (6 cours)
Le mouvement brownien (1 cours) Le mouvement brownien est le processus stochastique qui intervient le
plus souvent dans les modèles de marchés à temps continu. En effet, il
entre dans la fabrication des processus de diffusion qui, eux, modélisent
l'évolution des titres boursiers, des taux d'intérêts, etc.
. Définition du mouvement brownien
. Théorème de représentation des martingales en temps continu
L'intégrale stochastique et processus de diffusion (2 cours) . Construction de l'intégrale stochastique
. Définition d'un processus de diffusion
Calcul stochastique à temps continu (3 cours) Beaucoup de modèles de marché, de modèles de taux d'intérêts, etc. font
intervenir le calcul stochastique. Parmi les grands classiques, citons
les résultats obtenus par Black et Scholes ou Vasicek. Les processus
stochastiques impliqués sont à temps continu.
. Processus de diffusion
. Équation différentielle stochastique
. Lemme d'Itô
. Théorème de Girsanov
. Dérivée de Radon-Nikodym
. Probabilité neutre au risque et mesure martingale
. Applications Bibliographie . Martin Baxter et Andrew Rennie (1996), Financial Calculus, An
Introduction to Derivative Pricing, Cambridge, New York.
Excellent bouquin ! Le chapitre 3 présente les notions mathématiques et
les chapitres subséquents traitent des applications. Très intuitif.
. Michael U. Dothan (1990), Prices in Financial Market, Oxford University
Press, New York.
La particularité du traitement du calcul stochastique dans ce livre