Solutions SUJET 1 BPREA - Univ-lille1

Solutions SUJET 1 BPREA
Exercice 1 Solution rédigée (version courte) :
1)
Le diamètre du cylindre est D = 60 cm = 0,6 m
Le rayon du cylindre est R = 0,6 ÷ 2 = 0,3 m
La hauteur du cylindre qui correspond à la longueur du réservoir est H =
1,59 m
Le volume du cylindre est V = ? R² H
V = ? × (0,3)² × 1,59 = 0,4495619 arrondi au centième prêt V = 0,45 m3 Le volume du réservoir est de 0,45 m3 2)
800 L pour 1 ha correspond à
0,8 m3 pour 10 000 m² donc
0,45 m3 pour 10 000 × 0,45 ÷ 0,8 = 5625 m² Avec le réservoir plein on peut traiter 5625 m². 3)
Ayant consommé les 2/5 du réservoir, il lui reste les 3/5 donc 800 × 3 ÷ 5
= 480 L Il lui reste 480 L.
Solution détaillée
1)
On demande le volume d'un cylindre en mètres cube, il faut donc que les
mesures de longueur soient converties en m.
Diamètre = 60 cm reportons dans le tableau de conversion
Mesures de longueurs |Données |m |dm |cm |mm |
|60 cm |0 |6 |0 |0 | On lit donc 60 cm = 0,6 m
(Attention : « 0,60 m ou 0,600 m » ne serais pas faux mais les derniers
zéros sont inutiles) On peut faire la conversion avec un tableau de proportionnalité sachant
que 1 m = 100 cm |m |cm |
|1 |100 |
|? |60 | Donc avec le « produit en croix » 60 cm = 60 × 1 ÷ 100 = 0,6 m La formule V = ? R² H donnant le volume du cylindre en mètre cube, se
traduit par le programme suivant en partant du diamètre D (exprimé en m) :
Le rayon est R = 0,6 ÷ 2 = 0,3 m (Le rayon est la moitié du diamètre)
Le carré du rayon vaut R² = 0,3 × 0,3 = 0,09 m² (Surface du carré de coté
R)
La surface du disque de base est S = 0, 09 × 3.14 = 0, 2826 m² ( Surface
disque = ? R²)
Le volume du cylindre est : V = 0,2826 × 1,59 = 0, 449334 m3 (Volume cylindre = Surface de base x
Hauteur) Compte tenu de la précision des données de départ nous pouvons arrondir au
centième prêt. Le volume du réservoir est de 0,45 m3 NB : La formule V = ? R² H pour R = 0,3 m et H = 1,59 correspond :
Sur une calculatrice simple en prenant ? = 3,14 au calcul : V = 3.14 x (0,3) x (0,3) x 1,59 = 0,449334 = 0,45 m3 Si votre calculatrice possède la touche carré : x² et la touche ?, le
programme de calcul devient : 0.3 x² × ? × 1.59 = 0.4495619 L'arrondi est le même V = 0,45 m3
2)
On demande la surface en m² et on connait le volume en m3
Il faut donc traduire les hectares en mètres carré et les litres en mètres
cube, en utilisant : - Soit des tableaux de conversion : |Donnée| |
|s | |
|1000 |1 |
|800 |? | 800 = 800 × 1 ÷ 1000 = 0,8 m3
800 L = 0,8 m3 On obtient dans les deux cas les mêmes résultats d'où le tableau de
proportionnalité : |Volume en m3|Surface en |
| |m² |
|0,8 |10 000. |
|0,45 |? | La surface est S = 0,45 × 10 000 : 0,8 = 5625 m² Avec le réservoir plein on peut traiter 5625 m². 3)
Première solution : on a consommé 2/5 de 800 L donc 800 × 2 ÷ 5 = 320 L
Il reste donc 800 - 320 = 480 L
Deuxième solution : on a consommé 2/5, il reste donc 1 - 2/5 = 5/5 - 2/5 =
3/5
3/5 de 800 L vaut 800 × 3 ÷ 5 = 480 L Il lui reste 480 L.
Exemples de solutions possibles Traduction % en fraction décimale
Calcul de la baisse : 28 % de 12500 c'est [pic] de 12500 donc [pic] = 3500
12500 - 3500 = 9000
La valeur actuelle est 9 000 E
ou On peut calculer le pourcentage restant ; 100 % - 28 % = 72 %
72 % de 12500 c'est : [pic] = 9000
La valeur actuelle est 9 000 E Autres solution possibles Coefficient multiplicateur :
C'est la méthode la plus rapide
Baisser de 28 % c'est multiplier par 0,72
Car
100 % - 28 % = 72 % = [pic] = 0,72 donc - 28 % équivaut à × 0,72
12500 × 0,72 = 9000
La valeur actuelle est 9 000 E Règle de trois
Perte de 28 % signifie que pour 100 E, il y a une baisse de 28 E donc que
le nouveau prix est :
100 - 28 = 72 E. La situation conduit donc à la règle de trois suivante :
Pour un ancien prix de 100 E le nouveau prix est 72 E.
Pour un ancien prix de 12 500 E, quel est le nouveau prix ?
Pour 100 E on a 72 E
Pour 1 E on a 72÷100
Pour 12 500 E on a 72 ÷ 100 × 12500 = 9000 E
La valeur actuelle est 9 000 E Tableau de proportionnalité
L'énoncé peut se traduire par le tableau de proportionnalité suivant |Ancien Prix |Baisse |Nouveau Prix|
|100 |28 | |
|12 500 | |? | On complète la première ligne |Ancien Prix |Baisse |Nouveau Prix|
|100 |28 |72 |
|12 500 | |? | Puis on applique le « truc de la croix » pour trouver la valeur du point
d'interrogation [pic]
On complète le tableau : |Ancien Prix |Baisse |Nouveau Prix|
|100 |28 |72 |
|12 500 |3500 |9000 | La valeur actuelle est donc de 9000 E NB : pour rédiger il suffit de donner le tableau avec les calculs à coté
On a le tableau :
|Ancien Prix |Baisse |Nouveau Prix| |
|100 |28 |72 |100 - 28 = 72 |
|12 500 |3500 |9000 |12500×72÷100 = 9000 | On peut calculer la perte mais ce n'est pas demand& 12500 - 9000 = 3500 Utilisation de la formule
- La formule donnant un pourcentage de baisse : N = A × ( 1 - [pic] )
Donne pour A = 12500 E et p = 28
N = 12500 × ( 1 - [pic]) = 12500 ( 1 - 0,28) = 12500 × 0,72= 9000 E
On retrouve le coefficient multiplicateur 0,72. Solution exercice 3
1)
11000 E placé à intérêt simple à 4,5 % rapporte 4,5 % de 110000 par ans
d'intérêt
[pic] = 495 E d'intérêt chaque année, donc 495 × 5 =2475 E d'intérêts en 5
ans.
Le nouveau capital est 11000 + 2475 = 13 475 E Le premier placement à intérêts simples donne un capital de 13 475 E au
bout de 5 ans. 2)
Première méthode
On rempli pas à pas le tableau suivant en ajoutant chaque année les
intérêts au capital de l'année précédente en utilisant les formules
Intérêt = Capital début d'année × [pic] et Capital fin d'année = Capital
début d'année + Intérêt |années |Capital début |Intérêt de |Capital en fin |
| |d'année |l'année |d'année |
|1 |11000 |495 |11495 |
|2 |11495 |517,28 |12012,28 |
|3 |12012,28 |540,55 |12552,83 |
|4 |12552,83 |564,88 |13117,71 |
|5 |13117,71 |590,30 |13708,01 | Le deuxième placement à intérêts composés donne un capital de 13 708 E au
bout de 5 ans. NB : Hors condition d'examen et en lien avec l'UC « bureautique », il est
intéressant d'obtenir se tableau à l'aide du tableur par exemple avec EXEL. Deuxième méthode (la plus rapide) Chaque année le capital augmente de + 4,5 %
Donc il est multiplié par 1, 045 car 100 % + 4, 5 % = 104,5 % = 104,5/100 =
1,045
On a donc au bout de 5 ans :
C =11000 × 1,045 × 1,045 × 1,045 × 1,045 × 1,045 =13708
Si vous disposé d'une machine à calculer scientifique munie de la fonction
puissance ( Touches ^ ou [pic] ) Le calcul devient :
C = 11000 × 1,045 5= 13708 Le deuxième placement à intérêts composés donne un capital de 13 708 E au
bout de 5 ans.
Exercice 4: Un agriculteur vend 30 tonnes de blé et 40 tonnes d'orge pour 28500 E à une
entreprise A et 20 tonnes de blé et 15 tonnes d'orge à une entreprise B
pour 13750 E
1)
Soit x le prix d'une tonne de blé et y le prix d'une tonne d'orge
On a le système de deux équations à deux inconnues : 30 x + 40 y = 28500
20 x + 15 y = 13750 2) Le plus facile est de résoudre par addition (30 x + 40 y = 28500) × 2 donne 60 x + 80 y = 57000
(20 x + 15 y = 13750) ×(-3) donne -60 x - 45 y = -41250
En additionnant on a 35 y = 15750 Donc y = 15750÷35 = 450
En remplaçant y par sa valeur dans la première équation on a
30 x + 40 × 450 = 28500
30 x + 18000 = 28500
30 x = 28500 - 1800
30 x = 10500
x = 10500÷30
x= 350 Une tonne de blé vaut 350 E et une tonne d'orge vaut 450 E Remarque : avant de résoudre on peut simplifier les équations en divisant
les deux membres par un diviseur commun
(30 x + 40 y = 28500) ÷ 10 donne 3x + 4y = 2850
(20 x + 15 y = 13750) ÷ 5 donne 4x + 3y = 2750
Le système est plus simple mais la méthode reste la même.
On peut aussi utiliser la méthode de substitution mes les calculs sont plus
longs.
Quelque soit la méthode prenez le temps de vérifier vos résultats en
remplaçant dans les équations de départ : 30 × 350 + 40 × 450 = 28500 correct
20 × 350 + 15 × 450 = 13750 correct Exercice 5 :
1) Construire l'histogramme.
Compte tenu des unités : 2 cm = 10 min et une hauteur de 1 cm correspond à
un petit rectangle de largeur (2 cm) représentant 5 employé |Durée en |Durée en |Effectifs |Hauteur en|
|min |cm | | |
| | | |cm |
|0 |0 |28 |5,6 |
|10 |2 |30 |6 |
|20 |4 |32 |6,4 |
|30 |6 |40 |8 |
|40 |8 |46 |9,2 |
|50 |10 |24 |4.8 |
|60 |12 |
[pic]
2)
Ici comme les classes sont d'égale amplitude, cela correspond à la classe
[40 ; 50] de plus fort effectif (46), on peut donc répondre à cette
question sans tracer l'histogramme.
La classe modale de cette série, correspond à la colonne la plus haute de
l'histogramme, donc bien à la classe [40 ; 50 ].
La classe modale est [40 ; 50] 3) Pour calculer une estimation du temps moyen de déplacement on
affecte dans une classe la valeur du milieu de l'intervalle (centre de la
classe) à chaque individus, puis on calcule le temps total et on divise par
200(effectif total) pour obtenir une estimation de la moyenne.
Temps total = 28×5 + 30×15 + 32×25 + 40×35 + 46×45 + 24×55 = 6180
Temps moyen = 6180 ÷ 200 = 30,9 min Le temps moyen de trajet arrondi à la minute prêt est 31