demande d'habilitation a delivrer des diplomes - Institut de ...

UNIVERSITE PAUL SABATIER SCIENCES TOULOUSE III
U.F.R. MATHEMATIQUE INFORMATIQUE GESTION Licence Mathématiques et Applications
L3
Parcours Mathématiques Fondamentales
PRESENTATION DES ENSEIGNEMENTS
Syllabus
Année Universitaire 2007-2008 "LA LICENCE DE MATHEMATIQUES FONDAMENTALES " PRESENTATION DE LA FORMATION
La licence de mathématiques fondamentales est un parcours de la Licence de
Mathématiques et applications :
CONDITIONS D'INSCRIPTION
- Accès de plein droit aux étudiants ayant validé un L2 de Mathématiques et
applications. - Accès sur dossiers examinés par la Commission de Scolarité. Ceci
concerne:
a) les étudiants titulaires d'un BTS ou DUT à dominante Mathématique et
Informatique, b) les étudiants des classes préparatoires aux grandes écoles et les
étudiants des grandes écoles toulousaines, c) les étudiants étrangers titulaires d'un diplôme équivalent au DEUG ou
L2.
Responsable Claude André Roche
ORGANISATION DES ENSEIGNEMENTS
Description de la troisième année "Mathématiques fondamentales" Tous les modules sont semestriels. Le premier semestre est constitué de cinq modules obligatoires : 1. Topologie (24 h de cours, 36 h de T.D.) 6 ECTS
2. Intégration (24 h de cours, 36 h de T.D.) 6 ECTS
3. Algèbre (36 h de cours, 48 h de T.D.) 9 ECTS
4. Analyse matricielle, Modélisation et Calcul. (24 h de cours, 36 h de
T.D. + 12 h de TD en machine) 6 ECTS
5. Langues. 24h TD 3 ECTS Le second semestre,est constitué de huit modules obligatoires : 1. Calcul Différentiel (24h de cours, 36h de TD) 6 ECTS
2. Fonctions Holomorphes (24h de cours, 36h de TD) 5 ECTS
3. Projet (12 Devoirs maison) 1 ECTS
4. Probabilités et Statistiques (24h de cours, 36h de TD) 6 ECTS
5a. Espaces de Hilbert et analyse de Fourier (12h de cours , 18h de TD en
début du semestre) 3 ECTS
5b Equations différentielles et Modélisation (12h de cours , 18h de TD
+12h de TD en machine en fin du semestre) 3 ECTS
6. Unité d'Ouverture(24h de TD) 3 ECTS
7. Langues. 24h TD 3 ECTS Douze devoirs sont proposés sur l'ensemble de l'année. La moyenne des six
meilleures notes constitue l'évaluation du module projet.
Dans chacune des UE principales, deux heures hebdomadaires de soutien
seront proposées aux étudiants en difficulté. La présence sera obligatoire
pour les étudiants concernés. Responsable de la formation
Claude André ROCHE, Professeur,
U.F.R. M.I.G. (Mathématiques/Informatique/Gestion)
Secrétariat pédagogique
Madame Béatrice RIVERE, salle B10, Bât. 1TP1. Tel. 05 61 55 60 69 Premier Semestre TOPOLOGIE - ????
(24h cours, 36h T.D.)(6 ECTS)
1. Topologie
Espaces topologiques
Ouverts, fermés, voisinages. Espaces séparés, suites convergentes, limites. Fonctions continues. Sous-espace, produit. Espaces métriques
Topologie définie par une distance. Continuité et continuité uniforme,
Espaces métriques complets, complétude de R théorème du point fixe et
théorème de prolongement des applications uniformément continues, propriété
de Baire.
Topologie de la convergence uniforme. Théorème de Weierstrass. Espaces compacts
Axiome de Borel-Lebesgue, propriétés fondamentales.
Espaces métriques compacts,
Espaces localement compacts.
Espaces connexes
Propriétés fondamentales. Parties connexes de R, espaces connexes par arc.
Composante connexe, espaces localement connexes. 2. Espaces de Banach
Application linéaire continue.
Espaces de dimension finie, théorème de F. Riesz.
Séries convergentes et absolument convergentes,
Suites doubles, Algèbres d'opérateurs.
INTEGRATION - ???
(36h cours, 54h TD)(6 ECTS) Théorie de la mesure
Tribus, mesures positives, probabilité, théorème de Carathéodory (admis),
théorème de complétion.
Mesures de Lebesgue-Stieltjes, régularité, invariance par translation de la
mesure de Lebesgue. Intégrale par rapport à une mesure
Fonctions étagées, fonctions mesurables, variables aléatoires.
Construction et propriétés fondamentales de l'intégrale, espérance
mathématique d'une variable aléatoire, image d'une mesure.
Théorèmes de convergence : théorèmes de la convergence monotone, de Beppo-
Lévi, de Lebesgue, lemme de Fatou.
Mesures admettant une densité et intégration.
Fonctions définies par une intégrale : continuité et différentiabilité.
Lien avec l'intégrale de Riemann. Produit d'espaces mesurés
Mesure produit, théorème de Fubini, variables aléatoires indépendantes.
Mesures de Lebesgue sur Rn, formule de changement de variables (admis).
L'algèbre de convolution L1. Espaces Lp
Inégalités de Minkowski et de Hölder.
Continuité en moyenne d'ordre p.
Régularisation par convolution, théorèmes de densité.
ALGEBRE ???
(36h cours, 50h TD)(9 ECTS)
Groupes
Définitions, sous-groupes, homomorphismes, groupes
quotients, factorisation des homomorphismes.
Etude des sous-groupes et des quotients du groupe des entiers relatifs.
Théorie de Sylow, groupes résolubles.
Structure des groupes commutatifs finis.
Anneaux (commutatifs)
Définition, sous-anneaux, idéaux, homomorphismes, anneaux quotients,
factorisation des homomorphismes. Corps des fractions et anneau de
fractions d'un anneau intègre.
Anneaux de polynômes à plusieurs variables à coefficients dans un anneau
commutatif et unitaire, division euclidienne.
Anneaux principaux. Etude de leurs quotients.
Anneaux euclidiens.
Anneaux factoriels, factorialité des anneaux de fractions.
Anneaux factoriels et polynômes : factorialité des anneaux de polynômes,
critère d'irréductibilité d'Eisenstein.
ANALYSE NUMERIQUE MATRICIELLE - MODELISATION ET CALCUL ????
(24h cours,48h TD)(6 ECTS)
Ce cours a pour but l'introduction aux différentes méthodes d'étude des
systèmes linéaires (décompositions matricielles, méthodes de résolution,
calculs de valeurs et vecteurs propres) utilisées en mathématiques
appliquées (analyse numérique, statistique...). -Décompositions matricielles et méthodes directes de résolution :
-décompositions LU, QR, de Cholesky, décomposition en valeurs singulières. -Normes matricielles, conditionnement. Localisation des valeurs propres,
-théorème de Gershgorin-Hadamard. -Méthodes itératives de résolution des systèmes : Jacobi, Gauss-Seidel,
SOR. -Optimisation des formes quadratiques : méthodes du gradient, du
gradient conjugué. -Calculs spectraux : méthode de la puissance, de Jacobi, LR, matrices
tridiagonales. -Quelques problèmes modèles : discrétisation du Laplacien sur un carré
du plan, méthode des moindres carrés. Modèles issus de l'économie.
Premières notions concernant le logiciel MATHLAB. Résolution numérique de
problèmes linéaires en 6 TD de 2 heures sur machine.
LANGUES S5 ????
(24h TD)(3 ECTS) Equipe Pédagogique : Rashard KHADAROO enseignant d'anglais
Claire BATSERE enseignante d'anglais
Muriel COMET enseignante d'allemand
Jacqueline RUSSON enseignante d'espagnol
Serge ARBIOL enseignant de russe Mots clés : communication - langues de spécialités
Objectifs/Généralités : L'objectif majeur est d'atteindre le niveau
européen B2 (voir grille portfolio européen des langues/CLES).
L'enseignement en L3 vise à développer les compétences langagières et
communicationnelles, à l'écrit et à l'oral, dans les domaines scientifiques
et techniques, dans le contexte professionnel ainsi que dans la vie
quotidienne. Les thèmes traités porteront sur le domaine large de
spécialité. La majorité de l'enseignement met l'accent sur la communication
orale. Travaux Dirigés/Enseignements dirigés :
Modalités de contrôles et d'examens
L'évaluation s'effectuera par spécialité en raison des effectifs élevés de
certaines licences. Pour les effectifs réduits, il sera envisagé de
regrouper 2 spécialités lorsque les sujets sont proches ou de fonctionner
par domaine.
Rappel : la note minimum pour que le système de compensation soit effectif
est de 6/20
Toute absence à un contrôle continu doit être justifiée,
A l'avance lorsque l'absence est prévue,
Dans les 5 jours qui suivent l'épreuve (certificat médical, attestation,
etc.).
Pour toute absence non justifiée, l'étudiant est considéré comme
défaillant.
Les étudiants dispensés d'assiduité doivent entrer en contact avec
l'enseignant responsable de son cours de langues afin de s'informer du
contenu pédagogique concernant l'évaluation du CT.
Session 1 : Contrôle continu : 60 % Rattrapage obligatoire pour les CC.
Contrôle terminal : 40 % Rattrapage pour les CT en session 2.
Session 2 : Report de la note de contrôle continu de la session 1 : 30 %
Contrôle terminal : 70 %
Rattrapage du semestre 1 : compréhension globale et évaluation de
l'expression anglaise - supports écrits.
Rattrapage du semestre 2 : rédaction d'un essai en anglais (expression
d'idées personnelles) - supports écrits. Deuxième Semestre CALCUL DIFFERENTIEL ????
(36h cours, 54h TD)(6 ECTS) Fonctions différentiables
Fonctions différentiables. Différentiation des fonctions composées.
Différentielles partielles.
Théorèmes des accroissements finis ou des valeurs moyennes.
Suite de fonctions différentiables.
Différentielles d'ordre supérieur ; fonctions de classe Cp. Formules de
Taylor.
Théorèmes d'inversion locale, des fonctions implicites et leurs
applications.
Théorèmes d'inversion locale, des fo